Diatonische Flöten

die konochenflöten, wie ich sie jetzt nenne, um verwechslungen mit einer deutlich anders gestalteten indianerflöte von wikipedia zu vermeiden, haben sich in zwei versionen ausgestaltet. die eine hat drei löcher, die andere vier und das jeweils nächst mögliche loch liegt sehr nah an der oktave.

dieser weitere ton ist in jedem fall harmonisch spielbar, es handelt sich also nicht unbedingt um eine abweichung, ich habe ihn nur der einfachheit wegen in der serie weggelassen und verwende ihn selbst ganz gerne als hohen leitton, wie in einer lydischen dur tonleiter.
überhaupt sind die naturtöne, die beim überblasen längerer rohre entstehen, dem lydischen sehr nahe, wie mir scheint.
da jetzt aber die einteilung des flötenrohres ganz andere intervalle ergibt als die einteilung der saite, die naturtöne der flöte sich auch von den naturtönen der saite, der einfachen pentatonik, deutlich unterscheiden, frage ich mich, wie ich das in einklang bringen kann und welche muster dem vergleich zugrunde liegen.
aus der einfschen physik lernen wir zwei dinge, die von bedeutung sein könnten. erstens der ton wird bestimmt durch das volumen der luftsäule wie es heißt, und zweitens die welle des erzeugten tones ist doppelt so lang, wie das angeblasene rohr. 

ich vermute das gilt für zylindrische hohlkörper, die verhältnisse beim horn oder der okarina sind sicher dieselben, auch wenn sie sich vermutlich völlig anders darstellen.
im praktischen versuch hat sich schon gezeigt, dass sich die drei grundsätze meines pythagoras nicht so einfach von der schwingenden saite auf die luftsäule übertrsgen lassen. oder ist es doch möglich?
die hälfte eines beliebigen und gleichmäßigen rohres ist jedenfalls nicht immer die oktave des grundtones, und ich frage mich: sollte es möglich sein die oktave genau zu bestimmen, lassen sich dann durch entsprechende verhältnismäßigkeiten diatonische tonleitern autentisch auf der löte abbilden?
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die oktave lag bei den knochenflöten einmal einen kleinen halbton oberhalb von 3/5 und bei der anderen etwas näher auch oberhalb von 2/3. 
im zweiten fall könnte man aufgrund der stärkeren annäherung schon fast von einem fehler ausgehen, der die genaue berechnung vergleichbarer naturereignisse mithilfe der mathematik unmöglich macht. im ersten fall scheint die natur sich diesen einfachen verhältnissen aber doch soweit anzunähern, dass diese abweichung als teil der harmonie betrachtet werden kann.
die oktave liegt also bei den knochenflöten in der nähe von 3/5 und 2/3 der rohrlänge.

ich hab allerdings auch schon andere beobachtungen gemacht, zum einen war die oktave auf dem kürzeren rohr durch einteilung garnicht zu erreichen, zum anderen lag sie tatsächlich bei der hälfte.
als eine schwierigkeit kommt hinzu, dass die töne sich durch das bohren weiterer löcher verändern, das heißt in einem fall konnte ich beobachten, wie die hälfte des quadratischen querschnittes auf der rohrlänge das anblasen der oktave ermöglicht hat, nachden weitere löcher dazu gekommen sind, hat dieses loch weit unterhalb der oktave gelegen. 

dass bei den pentatonischen knochenflöten die oktave nahe des vierten oder fünften loches liegt, wird maßgeblich durch die übrigen löcher beeinflusst.
abweichungen wie bei der kleineren mit drei regulären löchern lassen sich auch durch ungenauigkeiten bei der fertigung erklären. demnach wäre zu vermuten, dass die oktave bei dieser einteilung tatsächlich bei 2/3 liegt, was dann das jeweils vierte loch tatsächlich überflüssig macht. bei der anderen stellt sich die frage ob die oktave bei 3/4 zu finden wäre, und ob das fünfte loch nicht doch auch bei den kleineren flöten zum festen bestandteil werden sollte, weil dieser ton einfach unverzichtbarer teil der harmonik dieser flöten ist.
um diatonische tonleitern auf der flöte zu verwirklichen, brauche ich zunächst ein reproduzierbares muster zu erzeugung der reinen oktave und der quinte.