die so genannten obertöne sind ganz einfach rationale vielfache einer einzelnen harmonischen schwingung. das heißt die länge eines sinus kann halbiert werden und es entsteht eine entsprechend kürzere welle der gleichen schwingung. ebenso kann eine gitarrensaite mal 1/2 mal 1/3 mal 1/4 und so weiter genommen werden und es entstehen die entsprechenden obertöne zur grundschwingung, vorausgesetzt diese ist eine stehende harmonische welle auf dieser saite.
dies ist eine weitere möglichkeit eine nicht diatonische tonleiter zu erzeugen. wir nutzen dazu die ungeraden primzahlen 1 bis 7 im verhältnis zu 2 und teilen die gitarrensaite nach dem bekannten verfahren ein.
1/2 ist die halbe saite, also die oktave
3/2 ist die quinte von links und von rechts dir quarte
5/2 ermittelt die terz und sext
7/2 die sekunde und septime
es heißt bei wikipedia diese harmonie sei dem europäischen musikgeschmack schwer zugänglich, da ausgenommen blasinstrumente keine musikinstrumente nach dieser stimmung geferigt werden mit der begründung dass nicht alle modulationen der musik mit diesen tönen wiedergegeben werden können.
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nach ein bischen rumrechnen mit saitenverhältnissen ergeben sich aus quinte, terz und septime folgende längenmaße in cm für eine gesamtlänge der saite von 64cm
51,2 —- T —- 40
42,67 — Q — 48
36,57 — S —- 56
geordnet nach größe die bünde bei
32 / 36,57 / 40 / 42,67 / 48 / 51,2 / 56 / 64cm
es ist auffällig, dass die abstände zwischen den tönen verhältnismäßig gleich bleiben und nicht wie erwartet nach oben hin gleichmäßig enger werden, das bedeutet gleichzeitig, dass der abstand zwischen 56cm und 64cm so groß ist, dass nach diesem muster genau ein ton bei 60,24cm fehlt, dieser errechnet sich aus dem verhältnis 17/2 ist also nicht bestandteil dieser tonleiter und scheint doch irgendwie notwendig.
verglichen mit der lydischen tonleiter, deren bünde bei
32 / 36 / 40,5 / 45,6 / 48 / 54 / 60,75 / 64cm
liegen, fällt auf, dass ein ton in diesem bereich vorstellbar ist, dass aber die werte ansonsten kaum übereinstimmen, es ist also nicht naheliegend diese beiden tonfolgen zu kombinieren.
auf der äolischen skala, bünde bei
32 / 36 / 40,5 / 42,6 / 48 / 54 / 56,8 / 64cm
stimmen erwarungsgemäß die beiden quinten bei 42,67cm und 48cm überein.
verglichen mit neun obertönen aus den verhältnissen
1/1 1/2 1/3 1/5 1/7
sowie deren konsonanten
1/4 2/5 2/7 3/7
zeigen sich terz, quarte, quinte, und septime übereinstimmend.
diese tonfolge nähert sich also den schwingungseigenschaften der saite weitgehend an.
die sekunde, errechnet aus 7/2 für die septime kann demnach noch ermittelt werden, die sexte ermittelt aus 5/2 für die terz ebenso. verschiebe ich diese auf den nächstgelegenen oberton, erhalte ich eine skala mit sieben tönen
behalte ich diese bei und ergänze sie durch die punkte der obertöne, die aus den gleichen verhältnissen hervorgehen, ergibt sich eine skala mit elf tönen, ergänzt durch den einen den ich jetz nove nenne zwölf
das ganze bild erscheint sehr verwirrend ist aber interessant!