Einfache Harmonielehre
Zum Vergleich ziehe ich die Praktische Intonationslehre von Prof. Dr. Doris Geller [1] heran, welche ich als representativ für das allgemeine Konzept der Harmonielehre in ihren Grundlagen unabhängig von meinen Ausarbeitungen betrachte.
ich gehe im Folgenden von drei Grundsätzen aus, die sich mit Überlegungen zur Naturtonreie [S.16] decken lassen, welche sich zuerst auf die Saitenlänge, dann auf die Schwingungszahl beziehen, und das pythagoreische Prinzip in seiner Essenz erfassen:
1.: Die halbe Saitenlänge erklingt zur ganzen Saitenlänge konsonant, also erklingt die doppelte Saitenlänge zur einfachen Saitenlänge konsonant.
2.: Ein Drittel der Saitenlänge erklingt zur ganzen Saitenlänge harmonisch, also erklingt das dreifache der Saitenlänge zur einfachen Saitenlänge harmonisch.
3.: Saitenlängenverhältnisse und Schwingungszahlenverhältnisse verhalten sich zueinander umgekehrt proportional.
Diese drei Grundsätze führen zur Schlussfolgerung, dass zum Ersten jeder Ton sowohl in Schwingungszahl als auch in Saitenlänge halbiert oder verdoppelt werden kann, was einen konsonanten Ton hervorbringt. Konsonant bedeutet, dieser Ton wird vom menschlichen Gehör als eine tiefere oder höhere Variante des gleichen Tones wahrgenommen.
Allgemein spricht man vom Oktavieren [S.22].
Zum Zweiten führen diese Grundsätze zu der Annahme, dass Gleiches für alle harmonischen Töne gilt. Harmonisch wird ein Ton empfunden, der im Verhältnis zu einem Grundton besonders angenehm vom menschlichen Gehör wahrgenommen wird.
Drittens und letztens wird erkennbar, dass aus diesen Verhältnissen nicht nur Saitenlängenverhältnisse sondern direkt Schwingungszahlen entstehen. Wir benutzen als grundlegendes Maß für die Schwingungszahl 1/s, das bedeutet eine Schwingung pro Sekunde auf einer Saite mit der Länge 1 einer entsprechenden Maßeinheit M.
Wenn wir also die Grundeinheit oktavieren, erhalten wir folgende Konsonanten auf der Saitenlänge M/1 oder in der Schwingungszahl 1/s:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, .. als unendliche Zahlenreihe.
Zum Beispiel entspricht die Saitenlänge M/512 der Schwingungszahl 512/s.
Wenn wir weiterhin zur Grundeinheit einen harmonischen Ton bilden und zu diesem jeweils den nächsten harmonischen Ton, so erhalten wir folgende Reihe aufeinander aufgebauter harmonischer Töne:
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2.187, 6.561, 19.683, 59.049, 177.147 .. bis zum zwölften Element dieser unendlichen Reihe.
Die Saitenlänge M/3 entspricht der Schwingungszahl 3/s, ebenso Verhält es sich mit allen anderen Werten dieser Reihe. Alle diese können nach dem ersten Grundsatz selbstverständlich oktaviert werden, und wir erhalten aus den vorliegenden Werten folgende Töne:
c’256/s
g’384/s
d’288/s
a’432/s
e’324/s
h’486/s
fis’364,5/s
cis’273,375/s
gis’410,063/s
dis’307,547/s
ais’461,320/s
f’345,990/s
Diese Töne entsprechen einer reinen pythagoreischen Stimmung.
Verantwortlich für die Fehlinterpretation des pythagoreischen Grundmusters ist die Berechnung eines in sich nicht geschlossenen Quintenzirkels durch so genannte Quintenschichtung [S.55]. ich kann sehr genau verdeutlichen aus welchem Grund dieser Fehler auftritt, dies würde allerdings mehr Raum in Anspruch nehmen.
Hier noch ein Hinweis auf die Modulation der reinen pythagoreischen Stimmung durch Transformation der Schwingungszahl auf die Saitenlänge, was eine Invertierung der entsprechenden Skalen zur Folge hat, da Schwingungszahl und Saitenlängenverhältnisse umgekehrt proportional zueinander verlaufen.
Wird eine Saite auf C’256 Herz gestimmt und in ihrer Länge nach den oktavierten Werten der Schwingungszahlen eingeteilt, so unterscheiden sich sämtliche gemessene Frequenzen um 1/4 Halbton von den errechneten Werten. Diese Tonfolge ist allerdings genauso harmonisch wie die nicht invertierte, sie enthält auf der Saite eine reinere Terz aber keine reine Quinte.
1/1s, 1/3s, 1/9s, 1/27s, 1/81s, 1/243s, 1/729s, 1/2.187s, 1/6.561s, 1/19.683s, 1/59.049s, 1/177.147s .. bis zum zwölften Element dieser unendlichen Reihe.
Das vollständige Tonsystem bietet insgesamt 24 Töne nach charackteristischem Muster, in dem die jeweiligen Vertreter der Halbtonschritte paarweise um einen heterogenen 1/4 Halbton entsprechend der Anordnung der Schrittfolgen auseinander liegen. Aus den Mittelwerten dieser paarweise angeordneten Tönen würde sich eine chromatische Skala ergeben, deren einzelne Töne einer gleichstufigen Stimmung entsprechend auseinanderliegen. Eine reine Simmung nach klassischen Motiven ist für die Praktische Intonationslehre [1] nicht außerhalb dieser paarweise angeordneten Töne zu finden, ebenso Abweichungen, die von äußeren Faktoren abhängig sind oder temperierte Stimmungen, eine praktische Intonation findet im westlichen Kulturraum also vorzugsweise innerhalb dieses Rahmens statt.
c‘ 256/s .. 256/s
# 269,70/s .. 273,38/s
d‘ 284,12/s .. 288/s
# 303,41/s .. 307,55/s
e‘ 319,64/s .. 324/s
f‘ 341,33/s .. 346/s
# 359,60/s .. 364,5/s
g‘ 378,83/s .. 384/s
# 404,54/s .. 410,1/s
a‘ 426,19/s .. 432/s
# 455,11/s .. 461,32/s
h‘ 479,46/s .. 486/s
c“ 512/s .. 512/s
Literaturverzeichnus:
1. Geller, Doris: Praktische Intonationslehre, für Instrumentalisten und Sänger, 5. Aufl.: Bärenreiter-Verlag Karl Vötterle GmbH & Co. KG, Kassel, 2012.
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